SciPy 图结构
图结构是算法学中最强大的框架之一。
图是各种关系的节点和边的集合，节点是与对象对应的顶点，边是对象之间的连接。
SciPy 提供了 scipy.sparse.csgraph 模块来处理图结构。
邻接矩阵
邻接矩阵（Adjacency Matrix）是表示顶点之间相邻关系的矩阵。
邻接矩阵逻辑结构分为两部分：V 和 E 集合，其中，V 是顶点，E 是边，边有时会有权重，表示节点之间的连接强度。
用一个一维数组存放图中所有顶点数据，用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。
看下下图实例：
顶点有 A、B、C，边权重有 1 和 2。
A 与 B 是连接的，权重为 1。
A 与 C 是连接的，权重为 2。
C 与 B 是没有连接的。
这个邻接矩阵可以表示为以下二维数组：
A B C
A:[0 1 2]
B:[1 0 0]
C:[2 0 0]
邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵。
无向图是双向关系，边没有方向：
有向图的边带有方向，是单向关系：
注：上面两个图中的 D 节点是自环，自环是指一条边的两端为同一个节点。
连接组件
查看所有连接组件使用 connected_components() 方法。
实例
import numpy as np
from scipy.sparse.csgraph import connected_components
from scipy.sparse import csr_matrix
arr = np.array([
[0, 1, 2],
[1, 0, 0],
[2, 0, 0]
])
newarr = csr_matrix(arr)
print(connected_components(newarr))
以上代码输出结果为：
(1, array([0, 0, 0], dtype=int32))
Dijkstra — 最短路径算法
Dijkstra(迪杰斯特拉)最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
Scipy 使用 dijkstra() 方法来计算一个元素到其他元素的最短路径。
dijkstra() 方法可以设置以下几个参数：
- return_predecessors: 布尔值，设置 True，遍历所有路径，如果不想遍历所有路径可以设置为 False。
- indices: 元素的索引，返回该元素的所有路径。
- limit: 路径的最大权重。
实例
查找元素 1 到 2 的最短路径：
import numpy as np
from scipy.sparse.csgraph import dijkstra
from scipy.sparse import csr_matrix
arr = np.array([
[0, 1, 2],
[1, 0, 0],
[2, 0, 0]
])
newarr = csr_matrix(arr)
print(dijkstra(newarr, return_predecessors=True, indices=0))
以上代码输出结果为：
(array([ 0., 1., 2.]), array([-9999, 0, 0], dtype=int32))
Floyd Warshall — 弗洛伊德算法
弗洛伊德算法算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。
Scipy 使用 floyd_warshall() 方法来查找所有元素对之间的最短路径。
实例
查找所有元素对之间的最短路径径：
import numpy as np
from scipy.sparse.csgraph import floyd_warshall
from scipy.sparse import csr_matrix
arr = np.array([
[0, 1, 2],
[1, 0, 0],
[2, 0, 0]
])
newarr = csr_matrix(arr)
print(floyd_warshall(newarr, return_predecessors=True))
以上代码输出结果为：
(array([[ 0., 1., 2.],
[ 1., 0., 3.],
[ 2., 3., 0.]]), array([[-9999, 0, 0],
[ 1, -9999, 0],
[ 2, 0, -9999]], dtype=int32))
Bellman Ford — 贝尔曼-福特算法
贝尔曼-福特算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。
Scipy 使用 bellman_ford() 方法来查找所有元素对之间的最短路径，通常可以在任何图中使用，包括有向图、带负权边的图。
实例
使用负权边的图查找从元素 1 到元素 2 的最短路径：
import numpy as np
from scipy.sparse.csgraph import bellman_ford
from scipy.sparse import csr_matrix
arr = np.array([
[0, –1, 2],
[1, 0, 0],
[2, 0, 0]
])
newarr = csr_matrix(arr)
print(bellman_ford(newarr, return_predecessors=True, indices=0))
以上代码输出结果为：
(array([ 0., -1., 2.]), array([-9999, 0, 0], dtype=int32))
深度优先顺序
depth_first_order() 方法从一个节点返回深度优先遍历的顺序。
可以接收以下参数：
- 图
- 图开始遍历的元素
实例
给定一个邻接矩阵，返回深度优先遍历的顺序：
import numpy as np
from scipy.sparse.csgraph import depth_first_order
from scipy.sparse import csr_matrix
arr = np.array([
[0, 1, 0, 1],
[1, 1, 1, 1],
[2, 1, 1, 0],
[0, 1, 0, 1]
])
newarr = csr_matrix(arr)
print(depth_first_order(newarr, 1))
以上代码输出结果为：
(array([1, 0, 3, 2], dtype=int32), array([ 1, -9999, 1, 0], dtype=int32))
广度优先顺序
breadth_first_order() 方法从一个节点返回广度优先遍历的顺序。
可以接收以下参数：
- 图
- 图开始遍历的元素
实例
给定一个邻接矩阵，返回广度优先遍历的顺序：
import numpy as np
from scipy.sparse.csgraph import breadth_first_order
from scipy.sparse import csr_matrix
arr = np.array([
[0, 1, 0, 1],
[1, 1, 1, 1],
[2, 1, 1, 0],
[0, 1, 0, 1]
])
newarr = csr_matrix(arr)
print(breadth_first_order(newarr, 1))
以上代码输出结果为：
(array([1, 0, 2, 3], dtype=int32), array([ 1, -9999, 1, 1], dtype=int32))
